TP - Fonction dérivée
Pour certaines question, vous aurez besoin d'une feuille de brouillon.
On étudie la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^{*}\) par :
$$ f (x) = a x^3 + b x^2 + c x + d + \frac{e}{x}
$$
où \(a, b, c, d\) et \(e\) sont des nombres réels que l'on choisira.
1
Modifier les valeurs de \(a, b, c, d \) et \(e\) pour tracer les fonctions usuelles définies : $$ f (x) = 2 ; x ; 3 x ; x^2 ; x^3 ; \frac{1}{x} ; \frac{2}{x} $$ Vérifier que la fonction dérivée obtenue correspond bien à celle du cours
2
Modifier les valeurs de \(a, b, c, d \) et \(e\) pour tracer :
a
Une fonction affine croissante.
b
Une fonction affine décroissante.
c
Une fonction constante (dont la valeur de varie pas avec \(x\)).
d
Dans chacun des cas précédents, la fonction dérivée est constante. De plus, que peut-on remarquer ? Faire une hypothèse.
3
Tracer la fonction d'expression \(f (x)=x^2 + 2 x + 1\) :
a
Quel type de fonction est la fonction dérivée ?
b
Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\).
c
Dresser le tableau de signe de la fonction \(f '\).
d
Semble-t'il exister un lien entre ces deux tableaux ?
4
Tracer la fonction d'expression \(f (x)=x^3 - 5 x - 1 - \frac{1}{x}\) :
a
Existe-t-il une valeur interdite ? Si oui laquelle ?
b
Faire le tableau de variation de la fonction \(f\).
c
Faire le tableau de signe de la fonction \(f '\).
d
Semble-t'il exister un lien entre ces deux tableaux ?
5
a
Proposer une fonction qui admet ce tableau de variation : $$ \begin{array}{c|lcccr|} x &-\infty & & 0 & & +\infty\\\hline f (x) & & \searrow & \Vert & \searrow & \\ \end{array} $$
b
En utilisant le graphique ci-dessus, dresser le tableau de signes de sa fonction dérivée.
6
En utilisant les observations faites sur les questions précédentes, proposer une hypothèse permettant de lier une fonction \(f\) à sa fonction dérivée \(f'\).